Wprowadzenie

Link do ankiet: https://pollev.com/lukaszw470

Minimalna liczebność próby

Minimalna liczebność próby (MLP) informuje ile jednostek należy przebadać, aby maksymalny błąd oszacowania (na poziomie ufności $1–\alpha$) wyniósł co najwyżej $d$.

Przy większej liczbie jednostek oszacowanie będzie bardziej trafne (przedział ufności będzie węższy). Z drugiej strony koszty badania rosną wraz ze wzrostem liczebności próby.

Szukamy kompromisu pomiędzy dokładnością, a liczbą badanych jednostek.

Wyznaczoną wartość zawsze zaokrąglamy w górę.

Podejście kosztowe

Badane jest tyle jednostek na ile pozwala założony budżet.

$$n=\frac{\text{budżet}-\text{koszty stałe}}{\text{koszt jednostkowy}}$$

Przykład:

$$n=\frac{25000-5000}{20}=1000$$

W tym podejściu nie bierzemy pod uwagę błędu oszacowania.

Podejścia oparte o przedział ufności

Do wyznaczenia minimalnej liczebności niezbędne jest ustalenie:

• poziomu istotności (i związanego z nim poziomu prawdopodobieństwa) - $\alpha$
• maksymalnego dopuszczalnego błędu pomiaru - $d$
• odsetek/odchylenie standardowe z badania pilotażowego - $p_0$ lub $\sigma$

Zakładamy, że wielkość populacji jest nieskończona - nie wpływa to znacząco na wyniki, a upraszcza obliczenia.

Kalkulator minimalnej liczebności próby

Przedział ufności dla średniej

$$P\{\overline{X}-z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<m<\overline{X}+z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\}=1-\alpha$$ gdzie:

• $m$ - prawdziwa wartość średniej w populacji,
• $\overline{X}$ - estymator średniej z próby,
• $z_{(1-\alpha /2)}$ - kwantyl rozkładu normalnego obliczony dla poziomu istotności $\alpha$,
• $\sigma$ - znane odchylenie standardowe,
• $n$ - liczebność próby.

Błąd oszacowania to wynik odejmowania i dodawania od i do średniej z próby.

Przykładowo: przedział ufności czasu pracy w ciągu tygodnia wynosi $(35,45)$ godzin. Zatem średnia z próby wynosi 40 godzin, a błąd 5 godzin.

MLP - wyprowadzenie

$$P\{\overline{X}-z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<m<\overline{X}+z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\}=1-\alpha$$ Za błąd odpowiada:

$$z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

Chcemy, żeby błąd był mniejszy od tego wyrażenia:

$$d\ge z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$ Zatem po przekształceniach:

$$\sqrt{n}\ge z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{d}$$ Otrzymujemy wzór na minimalną liczebność próby:

$$n\ge {\left(z_{(1-\alpha /2)}\frac{\sigma }{d}\right)}^2$$

MLP - szacowanie średniej (I)

Znane odchylenie standardowe w populacji.

$$n\ge {(z_{(1-\alpha /2)}\cdot \frac{\sigma }{d})}^2$$

gdzie:

• $z_{1-\alpha /2}$ - kwantyl rozkładu normalnego obliczony dla poziomu istotności $\alpha$
• $\sigma$ - odchylenie standardowe w populacji
• $d$ - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru

MLP - szacowanie średniej (II)

Nieznane odchylenie standardowe w populacji.

$$n\ge {(t_{(1-\alpha /2,n_0-1)}\cdot \frac{s}{d})}^2$$

gdzie:

• $t_{(1-\alpha /2,n_0-1)}$ - kwantyl rozkładu t-Studenta obliczony dla poziomu istotności $\alpha$ i dla stopni swobody $n_0-1$
• $n_0$ - wielkość próby w badaniu pilotażowym
• $s$ - odchylenie standardowe w badaniu pilotażowym
• $d$ - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru

MLP - szacowanie odsetka (I)

Znany szacunkowy odsetek.

$$n\ge z_{(1-\alpha /2)}^2\cdot \frac{p_0(1-p_0)}{d^2}$$

gdzie:

• $z_{1-\alpha /2}$ - kwantyl rozkładu normalnego obliczony dla poziomu istotności $\alpha$
• $p_0$ - znany szacunkowy odsetek
• $d$ - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru

MLP - szacowanie odsetka (II)

Nieznany szacunkowy odsetek.

$$n\ge z_{(1-\alpha /2)}^2\cdot \frac{1}{d^2}$$

gdzie:

• $z_{1-\alpha /2}$ - kwantyl rozkładu normalnego obliczony dla poziomu istotności $\alpha$
• $d$ - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru

Wartości kwantyli N(0,1)

Wyznaczanie wartości kwantyli w R:

• qnorm(p = 1-alfa/2)
• qt(p = 1-alfa/2, df = n0-1)

Wyznaczanie wartości kwantyli w Excelu:

• ROZKŁ.NORMALNY.S.ODWR(1-alfa/2)
• ROZKŁ.T.ODWR(1-alfa/2;n0-1) lub ROZKŁ.T.ODWR.DS(alfa;n0-1)

Wyznaczanie wartości kwantyli w Google Sheets:

• NORMSINV(1-alfa/2)
• TINV(alfa, n0-1)

Przykładowe wartości

źródło

Uzyskane wielkości dotyczą populacji ogółem. Jeżeli chcemy przedstawić wyniki np. w podziale miasto/wieś to należy MLP pomnożyć przez 2, a dla wykształcenia (podstawowe/średnie/wyższe) przez 3, itd.

MLP - szacowanie odsetka (I)

MLP - maksymalne wartości

Przykład

Chcemy oszacować odsetek mieszkańców Poznania, którzy są zadowoleni z życia zakładając błąd badania równy 3% i prawdopodobieństwo 95%.

Według Badania Spójności Społecznej w 2018 roku zadowolonych z życia było 73% polaków (GUS 2020)

Dane

• błąd badania $d$: 0.03

• prawdopodobieństwo: 0.95

• alfa: 1 - 0.95 = 0.05

• szacunkowy odsetek $p_0$: 0.73

Eksperyment z losowaniem

1. Generujemy wektor zawierający odpowiedzi w populacji $N$

2. Losujemy próbę o wielkości $n$

3. Sprawdzamy czy w wylosowanej próbie odpowiedzi są takie jak w populacji

Losowanie próby

set.seed(123)
N <- 535946
m <- round(0.73*N)
zadowoleni <- rep(1, m)
niezadowoleni <- rep(0, N-m)
populacja <- c(zadowoleni, niezadowoleni)
summary(populacja)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00    0.00    1.00    0.73    1.00    1.00

n <- 842
proba <- sample(x = populacja, size = n)
mean(proba)

## [1] 0.719715

Symulacja wielokrotnego losowania

wyniki <- numeric(1000)
for(losowanie in 1:1000){
  proba <- sample(x = populacja, size = n)
  wyniki[losowanie] <- mean(proba)
}
summary(wyniki)

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.6805  0.7197  0.7304  0.7296  0.7387  0.7767

mean(wyniki > 0.7 & wyniki < 0.76)

## [1] 0.954

MLP w badaniu gospodarstw domowych

Designing Household Survey Samples: Practical Guidelines

$$n_h\ge \frac{z_{1-\alpha /2}^2{p}_0(1-p_0)fk}{p\overline{n}{d}^2}$$

• $z_{1-\alpha /2}$ - kwantyl rozkładu normalnego obliczony dla poziomu istotności $\alpha$
• $p_0$ - znany szacunkowy odsetek
• $f$ - efekt metody doboru próby (domyślnie 2)
• $k$ - mnożnik uwzględniający wskaźnik braków odpowiedzi
• $p$ - odsetek populacji, którego dotyczy $p_0$
• $\overline{n}$ - średnia wielkość gospodarstwa
• $d$ - maksymalny dopuszczalny błąd pomiaru